Разложение на множители. Формулы сокращённого умножения

Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это xy.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.


Группировка

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Замечательным свойством этих правил является то, что если вместо a,b стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.


Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ
1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.
2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.
3. Используем соответствующую формулу.
Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.