Рациональные уравнения

Правила преобразования уравнений

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:
2x+1=22x=2−12x=1
Так и к выражениям, содержащим переменные:
1−x=01=x

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:
x5+2=23∣∣⋅153x+30=10
А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:
2t+4=8|:2t+2=4
3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:
2(m+4)=(m+1)(m+2)2m+8=m2+2m+m+22m+8=m2+3m+2

Рациональные уравнения
Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:
1. Линейные
2. Квадратные
3. Кубические
4. Уравнения высших степеней
5. Дробно-рациональные

Линейные уравнения
Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду
ax=b, где a≠0,b ‒ некоторые числа.
Для решения достаточно поделить обе части равенства на a:
x=ba
Рассмотрим пример:
3(x−5)−5=−x

1. Приведем выражение к виду ax=b. Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

3x−15−5=−x→3x−20=−x→3x−20+x=0→4x−20=0→4x=20

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.
4x=20→x=5
Ответ: 5
Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе.

Рассмотрим еще один пример:

Ответ: 10,5


Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

Рассмотрим пример:
x2=−x+6

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:
x2+x−6=0

2. Определим дискриминант полученного уравнения:
D=12−4⋅1⋅(−6)=25=52

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

Ответ: 2; -3

В некоторых случаях (например, a=1 ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

Ответ: 2; 3


Кубические уравнения
Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.
После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение (x−a), где a – корень.


Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.
1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.
2. Записываем выражения как для деления в столбик:

Ответ: -1

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

Ответ: -2, 2


Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

Подходит пара чисел -2 и 5.

Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: -2

При подстановке корней в уравнение должно получится верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.