Оставьте контакты
Перезвоним вам в ближайшее время и проконсультируем
Прогрессии
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.
Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.
Например:
Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.
Например:
Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)
Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.
Например, 1, 3, 5, 7…
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.
Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)
Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.
Например, 1, 3, 5, 7…
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.
Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:
Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.
Например, 1, 3, 9, 27…
Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.
Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.
Если b1 — первый член прогрессии (b1 ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:
Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.
Например, 1, 3, 9, 27…
Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.
Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.
Если b1 — первый член прогрессии (b1 ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:
Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.
Сложные проценты
Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.
Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.
Сложный процент - это проценты с процентов.
У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.
Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.
Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S1 после начисления процентов можно посчитать так:
Сложные проценты
Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.
Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.
Сложный процент - это проценты с процентов.
У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.
Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.
Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S1 после начисления процентов можно посчитать так:
Счет Пети – тоже 7%-ный, но процент у него простой. Какие деньги заработает за три года Петя? В первый год он получит 70 рублей, столько же – во второй и в третий. Таким образом, проценты составят 3 · 70 = 210 рублей, итого общая сумма на счете - 1210 рублей. Инвестиционное решение Саши, очевидно, выгоднее.
