Равносильные системы

Два неравенства являются равносильными, если множества их решений совпадают. При решении неравенств иногда приходится переходить от одного неравенства к другому, более простому. Рассмотрим несколько равносильных переходов: для решения иррациональных, показательных, логарифмических неравенств, неравенств с модулем, дробно-рациональных неравенств.

1. Равносильные переходы для решения иррациональных неравенств

Встречаются такие неравенства, в которых корень сравнивают с выражением. Тогда тоже пользуемся возведением в квадрат для избавления от иррациональности, однако, накладываем дополнительное ограничение – неотрицательность выражения, поскольку значение корня четной степени – число неотрицательное.

Если иррациональность больше выражения, тогда нужно рассмотреть два случая: выражение может быть неотрицательным или отрицательным. Эти случаи нужно объединить. Поэтому используется совокупность двух систем. Один из двух случаев похож на предыдущую равносильность: тоже возводим в квадрат и добавляем условия. В другом случае рассматриваем только ОДЗ, так как корень всегда больше отрицательного числа.

Получаем следующие равносильные переходы:

Если неравенство с корнями нечетной степени, то таких ограничений на неотрицательность подкоренного выражения и на значение корня не возникает, поэтому в таком случае просто возводим обе части неравенства в соответствующую нечетную степень.

2. Равносильные переходы для решения показательных неравенств

Стандартный способ решения простейших показательных неравенств основывается на монотонности показательной функции, из которой получается следующее основное правило отбрасывания оснований:

Если же основание 0<a<1, то в сформулированный переход необходимо ввести поправку, поменяв в конце знак на обратный ˄ (т.е. знак > - на знак < и т.д.). Причина смены знака в том, что показательная функция с основанием, меньшим единицы, уже не возрастает, а убывает.

Если неизвестная входит как в основание, так и в показатель степени, то заранее неизвестно, будет ли основание степени больше или меньше единицы, поэтому при решении неравенства нужно учитывать оба этих случая. Если неравенство строгое, то получаем следующий равносильный переход:

Если неравенство нестрогое, то нужно дополнительно рассмотреть случай – основание равно единице, т.к. тогда получается, что единица в любой степени равна единице, неравенство выполнится. Т.е. получаем следующий равносильный переход:

3. Равносильные переходы для решения логарифмических неравенств

Метод решений простейших логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции, т.е. на правило отбрасывания логарифмов. Однако есть отличие от аналогичного правила отбрасывания оснований, которое объясняется тем, что при отбрасывании логарифмов расширяется ОДЗ неравенства. Значит, выражения, стоящие под логарифмами после отбрасывания последних могут стать отрицательными или равными нулю, следовательно, мы должны дополнительно учесть, что подлогарифмическое выражение положительно.

Если неизвестная входит как в основание, так и под знак логарифма, то заранее неизвестно, будет ли основание больше или меньше единицы, поэтому при решении неравенства нужно учитывать оба этих случая.

4. Равносильные переходы для решения неравенств, содержащих знак модуля

Если модуль меньше функции, то избавляемся от модуля, но взамен получаем систему из двух неравенств. Учитываем случаи: если число под модулем положительно и если число под модулем отрицательно:

Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что метод работает всегда. Мы помним, что модуль числа по определению является величиной неотрицательной. В примере модуль меньше отрицательного числа, очевидно, что такое неравенство не имеет решений.

То есть иными словами, дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков.

Произведение двух множителей равносильно совокупности систем: