Смысл производной

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.
Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.
Функция возрастает ⇒f′(x0)>0

2. Функция убывает.
Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.
Функция убывает ⇒f′(x0)<0

3. Экстремум.
Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).
Функция возрастает ⇒f′(x0)=0
Точка максимума
До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.
Максимум: f′(x0)+⇒−
Точка минимума
До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.
Максимум: f′(x0)−⇒+


ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ: