Правила дифференцирования

Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.
Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.

ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ:
ЧИСЛО, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Сложная функция – это когда внутри функции находится другая функция. То есть аргументом функции является другая функция. Как понять, что функция сложная: если в функции вместо икс стоит что-то другое – это сложная функция.
Например:

Общая формула:

(f(g(x))′=f′(g)⋅g′(x)

Что она означает: мы берем производную от внешней функции, сохраняя ее аргумент таким, какой он был (то есть сохраняем ту функцию, которая стояла внутри), а потом умножаем ее на производную внутренней функции.

Примеры:

АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ

Геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициент k в уравнении) касательной, проведенной в данной точке.

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как можно анализировать функцию с помощью производной:

Отсюда можно вывести общий порядок действий при анализе функций:
1. Находим производную от функции.
2. Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.
3. Определяем знаки производной между точками экстремума.

• Если в точке знак производной меняется с плюса на минус – это максимум.
• Если в точке знак производной меняется с минуса на плюс – это минимум.