Делимость

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.
Если числа делится на b, то пишут a⋮b
Пример.
95⋮5 так как 95=5⋅19

Свойства делимости

Простые и составные числа
Число p ρ≥2 называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.
Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.
Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.
Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.
Единица не является ни простым, ни составным числом.
Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.
19 : 7 = 2 (ост. 5)
19 = 7 ∙ 2 + 5

Пример 2.
22 : (-3) = -7 (ост. 1).
22 = -3 ∙ (-7) + 1

Пример 3.
-22 : 3 = -8 (ост. 2)
-22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы:
1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.